Question

6．如图，面积为15的矩形纸片ABCD中，AD=5，在BC边上取点E，使AE=5，剪下△ABE，将它平移至△DCF的位置，拼成四边形AEFD．
（1）求证：四边形AEFD是菱形．
（2）直接写出四边形AEFD的两条对角线的长．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质得到AE∥DF，AE=DF，则由此判定四边形AEFD是平行四边形；然后由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得结论；
（2）根据勾股定理，可得答案．

解答 （1）证明：由平移，得AE∥DF，AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
又∵AE=AD=5，
∴四边形AEFD是菱形．

（2）依题意得：AB•AD=15，即5AB=15，
故AB=3．
在直角△ABE中，AB=3，AE=5，则由勾股定理得到：BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=4．
如图，连接AF，ED．
在直角△ABF中，由勾股定理得到：AF=$\sqrt{A{B}^{2}+（BE+EF）^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（4+5）^{2}}$=3$\sqrt{10}$．
在直角△DCE中，由勾股定理得到：DE=$\sqrt{D{C}^{2}+（BC-BE）^{2}}$$\sqrt{{3}^{2}+（5-4）^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、图形的剪拼以及平移的性质．通过解答该题，使学生学会能够灵活运用菱形、勾股定理知识解决有关问题．