Question

18．锐角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC得矩形MPQN，设MN的长为X，矩形MPQN的面积为Y，则y关于x的函数图象大致形状是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据题意可以表示出矩形的面积y与自变量x之间的函数关系式，从而可以得到y关于x的函数图象，本题得以解决．

解答 解：作AD⊥BC于点D，交MN于点E，如下图所示，

∵锐角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，
∴$\frac{AD×BC}{2}=\frac{AD×6}{2}=12$，
解得，AD=4，
∵两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC得矩形MPQN，
∴MP=ED，△AMN∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{MN}{BC}$
又∵MN的长为x，矩形MPQN的面积为y，
∴$\frac{AE}{4}=\frac{x}{6}$
解得，AE=$\frac{2x}{3}$，
∴ED=AD-AE=4-$\frac{2x}{3}$，
∴MP=$4-\frac{2x}{3}$，
∴矩形的面积y=x（$4-\frac{2x}{3}$）=$-\frac{2}{3}{x}^{2}+4x$=$-\frac{2}{3}（x-3）^{2}+6$，
∴y关于x的函数图象是二次函数，顶点坐标是（3，6），
故选B．

点评 本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，可以列出相应的函数关系式，得到相应的函数的图象．