Question

15．已知双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与直线y=$\frac{1}{k}$x（k＞0）交于A，B两点（点A在的B左侧）如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，若AE²+BF²=m•EF²，则m=1．

Answer 1

分析 先求出A、B两点坐标，设点P（a，$\frac{k}{a}$），求出直线AP、BC得E、F两点坐标，利用两点间距离公式列出方程即可解决．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=k}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-k}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴点A（-k，-1），B（k，1），
设点P（a，$\frac{k}{a}$），则直线AP为y=$\frac{1}{a}x+\frac{k}{a}-1$，直线BC为y=-ax+ak+1，
∴点E坐标（0，$\frac{k}{a}$-1），F坐标（k+$\frac{1}{a}$，0），
∵AE²+BF²=m•EF²，
∴k²+（$\frac{k}{a}$）²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+1=m[（k+$\frac{1}{a}$）²+（$\frac{k}{a}$-1）²]
∴m（k²+（$\frac{k}{a}$）²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+1）=k²+（$\frac{k}{a}$）²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+1，
∴m=1．
故答案为1．
（补充方法：作AM∥BF交x轴于M，连接EM，只要证明△BOF≌△AOM，可得OF=OM，推出EM=EF，即可解决问题）

点评 本题考查一次函数、反比例函数以及勾股定理等有关知识，学会利用方程组求交点坐标，解题的关键是设参数a，想办法表示点E、F的坐标，题目有难度，有两个参数a、k，属于中考填空题中的压轴题．