Question

5．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=100°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）当△AOD是等腰三角形时，求α的度数．

Answer 1

分析 （1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．

解答 解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∵∠ACB=∠OCD=60°，
∴∠BCO=∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=CD}\\{∠BCO=∠ACD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC，
∵∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=150°-60°=90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵∠COB=∠CAD=α，∠AOD=200°-α，∠ADO=α-60°，∠OAD=40°，
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∴200°-α=α-60°，
∴α=130°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∴α-60°=40°，
∴α=100°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴200°-α=40°，
∴α=160°．
所以当α为130°、100°、160°时，△AOD是等腰三角形．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．