Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BG∥AC交DE的延长线于点G，连接CG，
（1）求证：△DBE≌△GBE； 
（2）求证：AD⊥CF； 
（3）连接AG，判断△ACG的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证∠GBE=∠DBE=45°，即可证明△DBE≌△GBE； 
（2）易证BG=BD，可得BG=CD，即可证明△ACD≌△CBG，可得∠BCG=∠CAD，即可求得∠CAD+∠ACF=90°，即可解题；
（3）易得DE=EG，即可证明△ADE≌△AGE，可得AD=AG，易得AD=CG，即可求得AG=CG，即可解题．

解答：证明：（1）∵BG∥AC，∴∠GBC+∠ACB=180°，
∴∠GBC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠GBE=∠DBE=45°，
∵在△DBE和△GBE中，

∠GBE=∠DBE=45° BE=BE ∠BED=∠BEG=90°

，
∴△DBE≌△GBE（ASA）； 
（2）∵△DBE≌△GBE，
∴BG=BD，
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，∴BG=CD，
∵在△ACD和△CBG中，

AC=BC ∠ACD=∠CBG=90° CD=BG

，
∴△ACD≌△CBG，（SAS）
∴∠BCG=∠CAD，
∵∠BCG+∠ACF=90°，
∴∠CAD+∠ACF=90°，
∴AD⊥CF；
（3）∵△DBE≌△GBE，
∴DE=EG，
∵在△ADE和△AGE中，

AE=AE ∠AED=∠AEG=90° DE=EG

，
∴△ADE≌△AGE，（SAS）
∴AD=AG，
∵△ACD≌△CBG，
∴AD=CG，
∴AG=CG，
∴△ACG为等腰三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了等腰三角形的判定，本题中求证△DBE≌△GBE、△ACD≌△CBG和△ADE≌△AGE是解题的关键．