Question

12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{4}{3}{x}^{2}+bx+c$与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上．
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）连接AC、BC，设点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作PM∥BC交射线AC于点M，连接CP，请探究是否存在使S_△CPM=2的P点？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请简述理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法确定抛物线解析式；
（2）先利用勾股定理求出AC，再判断出△AOC∽△AHP，表示出PH，再分点P在点B左侧和右侧两种情况讨论．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{4}{3}{x}^{2}+bx+c$经过B（3，0）．C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{3}{x}^{2}+3b+3=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{8}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4，
设y=0，
∴-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∵点A在x轴上，
∴A（-1，0）；
（2）存在；如图

∵在Rt△AOC中，OA=1，OC=4，
∴AC=$\sqrt{17}$，
过点P作PH⊥AC，
∵P在x轴正半轴上，
∴设P（t，0），
∵A（-1，0），
∴PA=t+1，
∵∠AOC=∠PHA=90°，∠A=∠A，
∴△AOC∽△AHP，
∴$\frac{OC}{AC}$=$\frac{HP}{AP}$，
∴$\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{HP}{t+1}$，
∴PH=$\frac{4\sqrt{17}（t+1）}{17}$，
∵PM∥BC，$\frac{BP}{AB}=\frac{CM}{AC}$，
∵B（3，0），P（t，0），
当点P在点B左侧时，BP=3-t，
∴$\frac{3-t}{4}=\frac{CM}{\sqrt{17}}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{17}（3-t）}{4}$，
∵S_△PCM=2，
∴$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{17}（3-t）}{4}×\frac{4\sqrt{17}（t+1）}{17}=2$，
∴t=1，
∴P（1，0），
当点P在点B左侧时，BP=t-3，
∴$\frac{t-3}{4}=\frac{CM}{\sqrt{17}}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{17}（t-3）}{4}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{17}（t-3）}{4}×\frac{4\sqrt{17}（t+1）}{17}=2$，
∴t=1±2$\sqrt{2}$，
∵点P是x轴正半轴上的一个动点，
∴P（1+2$\sqrt{2}$，0），
∴P点坐标为（1，0），（1+2$\sqrt{2}$，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，用点P（t，0）中的t表示出CM，PH是解本题的关键，分点P在点B左和右两种情况是本题的难点．