Question

19．将两个含30°角的三角尺按如图所示摆放在一起，观察并回答下面的问题：
（1）判断△ABD的形状，依据是什么？
（2）BC与CD大小有什么关系？为什么？
（3）BC与AB大小有什么关系？为什么？你能归纳含30°角的直角三角形的性质吗？

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的判定即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质三线合一即可得到结论；
（3）根据题意结合图形，然后写出已知，求证，先证明△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质证明即可．

解答 解：（1）△ABD是等边三角形，依据是有两个角是60°的三角形是等边三角形；

（2）BC=CD，
理由：∵AB=AD，AD⊥BD，
∴BD=CD；

（3）已知：如图，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，
求证：BC=$\frac{1}{2}$AB，
证明：∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=90°-30°=60°，
在△ACD和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{∠ACB=∠ACD=90°}\\{∠BAC=∠DAC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABC（ASA），
∴∠D=∠B=60°，AB=AD，BC=CD=$\frac{1}{2}$BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，
∴BC=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AB，
即在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．