Question

16．如图是边长为2的正方形ABCD，对角线为AC，△ABC以点A为中心，顺时针旋转45°得△AB′C′，则图中阴影部分的面积为4$\sqrt{2}$-4．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得BC=2，AC=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{2}$，∠BCA=∠ACD=45°，∠ADC=90°，再利用旋转的性质得∠AC′F=45°，∠FDC′=90°，则FD=DC′，AD=BC=2，则可判断点D在AC上，所以DC′=AC′-DC′=2$\sqrt{2}$-2，易得等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，利用S_阴影部分=S_△AB′C′-S_△FDC′进行计算．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=2，AC=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{2}$，∠BCA=∠ACD=45°，∠ADC=90°，
∵△ABC以点A为中心，顺时针旋转45°得△AB′C′，
∴∠AC′B′=45°，∠FDC′=∠FDA=90°，AD=BC=2，
∴点G在BD上，
∴DC′=AC′-AD=2$\sqrt{2}$-2，
∵△DFG为等腰直角三角形，
∴DF=DC′=2$\sqrt{2}$-2，
∴S_阴影部分=S_△AB′C′-S_△FDC′=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$-2）²=4$\sqrt{2}$-4．
故答案为4$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．