Question

7．在折纸这种传统手工艺术中，蕴含许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形，把一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开．
求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 根据折叠的性质得到∠MAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠MAC，∠CAB=∠NAB=$\frac{1}{2}$∠CAN，∠DCA=∠MCD=$\frac{1}{2}$∠ACM，∠ACB=∠NCB=$\frac{1}{2}$∠ACN，再根据正方形的性质得∠MAC=∠∠MCA=∠NAC=∠NCA，所以∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，于是可判断四边形ABCD为平行四边形，且DA=DC，然后根据菱形的判定方法得到四边形ABCD为菱形．

解答 解：∵△AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，
∴∠MAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠MAC，
同理可得∠CAB=∠NAB=$\frac{1}{2}$∠CAN，∠DCA=∠MCD=$\frac{1}{2}$∠ACM，∠ACB=∠NCB=$\frac{1}{2}$∠ACN，
∵四边形AMCN是正方形，
∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，
∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD为菱形．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的判定方法以及正方形的性质．