Question

6．在矩形纸片ABCD中，AB=16，AD=12，点P在边AB上，若将△DAP沿DP折叠，使点A恰好落在矩形对角线上的点A′处，则AP的长为6或9．

Answer 1

分析 分两种情况探讨：点A落在矩形对角线BD上，点A落在矩形对角线AC上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．

解答 解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1所示．

∵AB=16，AD=12，
∴BD=20，
根据折叠的性质，AD=A′D=12，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，
∴BA′=8，
设AP=x，则BP=16-x，
∵BP²=BA′²+PA′²，
∴（16-x）²=x²+8²，
解得：x=6，
∴AP=6；
②点A落在矩形对角线AC上，如图2所示：

由折叠的性质可知PD垂直平分AA′，
∴∠BAC+∠A′AD=∠PDA+∠A′AD=90°．
∴∠BAC=∠PDA．
∴tan∠BAC=tan∠PDA．
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{AP}{AD}$即$\frac{12}{16}$=$\frac{AP}{12}$．
∴AP=9．
综上所述AP的长为6或9．
故答案为：6或9．

点评 本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；依据翻折的性质找准相等的量是解题的关键．