Question

如图，点D、E、F分别是△ABC各边中点，若AB=AC=10，BC=12，则四边形ADEF的周长为

 

，面积为

 

．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,勾股定理

专题：

分析：根据中点的定义以及三角形的中位线定理即可求得四边形ADEF的各边的长，则周长即可得到；
连接AE求得AE的长，则△ABC的面积可求得，根据三角形的中位线定理可以证明EF∥AB，则△FEC∽△ABC，则△FEC的面积以及△BDE的面积可求得，进而得到四边形ADEF的面积．

解答：解：∵D、F分别是AB、ACD的中点，
∴AD=

1

2

AB=5，AF=

1

2

AC=5，DE=

1

2

AC=5，EF=

1

2

AB=5，
∴四边形ADEF的周长为20．
连接AE，
∵AB=AC，E是BC的中点，
∴AE=

1

2

BC=6，AE⊥BC，
∴直角△ABE中，AE=

AB2-BE2

=

102-62

=8，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AE=

1

2

×12×8=48，
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF∥AB，且EF=

1

2

AB，
∴△FEC∽△ABC，
∴S_△FEC=

1

4

S_△ABC=

1

4

×48=12，
同理，S_△BDE=12，
∴S_{四边形ADEF}=48-12-12=24．
故答案是：20，24．

点评：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及三线合一定理和相似三角形的判定与性质．