题目内容

14．如图，在矩形OABC中，点A，C分别在x轴上，y轴上，点B坐标为（4，2），D为BC上一动点，把△OCD沿OD对折，点C落在点P处，形成如图四种情形．

（1）如图丁，当点D运动到与点B重合时，求点P的坐标；
（2）现有直线y=kx+2$\sqrt{2}$，观察点D从点C向点B运动过程中，点P所形成的运动路径图形，当直线y=kx+2$\sqrt{2}$与点P所形成的运动路径图形有2个公共点时，求k的取值范围？

分析 （1）首先设BP与x轴的交点为点E，再根据全等三角形的判定方法，判断出△OPE≌△BAE；然后设OE=x，则BE=x，AE=4-x，求出OE、PE的值各是多少；最后根据RT△OPE中，OE-PF=OP-PE，求出PF的值是多少；再根据△OPF∽△OEP，得$\frac{PF}{OF}=\frac{PE}{OP}$，求出OF的值是多少，进而求出点P的坐标即可．
（2）点D从点C向点B运动过程中，点P所形成的运动路径图形是以O为圆心，2为半径的弧，其中P2点坐标即第（1）步中的P点坐标，即${P}_{2}（\frac{8}{5}，-\frac{6}{5}）$；点P1即直线y=kx+2$\sqrt{2}$与弧相切的切点，连结OP1，过P1作P1H⊥x轴，OK=2$\sqrt{2}$，OP1=2，求出P1的坐标，再把P1、P2的坐标分别代入y=kx+2$\sqrt{2}$，求出k1、k2的值，判断出k的取值范围即可．

解答 解：（1）如图1，设BP与x轴的交点为点E，
∵OP=BA，∠BAE=∠OPE，∠BEA=∠OEP，
∴△OPE≌△BAE．
设OE=x，则BE=x，AE=4-x，
根据AE2+AB2=BE2，
可得（4-x）2+22=x2，
解得x=$\frac{5}{2}$，
∴OE=$\frac{5}{2}$，PE2=OE2-OP2，∴PE=$\frac{3}{2}$．
RT△OPE中，OE•PF=OP•PE，
即$\frac{5}{2}×PF=2×\frac{3}{2}$，
∴PF=2×$\frac{3}{2}÷\frac{5}{2}$
=3$÷\frac{5}{2}$
=$\frac{6}{5}$．
根据△OPF∽△OEP，得$\frac{PF}{OF}=\frac{PE}{OP}$，
即$\frac{\frac{6}{5}}{OF}=\frac{\frac{3}{2}}{2}$，
所以OF=$\frac{6}{5}×2÷\frac{3}{2}$
=$\frac{12}{5}×\frac{2}{3}$
=$\frac{8}{5}$，
∴P（$\frac{8}{5}$，$-\frac{6}{5}$）．

（2）如图2，点D从点C向点B运动过程中，点P所形成的运动路径图形是以O为圆心，2为半径的弧，，
其中P2点坐标即第（1）步中的P点坐标，即${P}_{2}（\frac{8}{5}，-\frac{6}{5}）$．
点P1即直线y=kx+2$\sqrt{2}$与弧相切的切点，连结OP1，过P1作P1H⊥x轴，OK=2$\sqrt{2}$，OP1=2，
∴∠COP1=45°，∠OP1H=45°，OH=P1H=$\sqrt{2}$．
∴${P}_{1}（\sqrt{2}，\sqrt{2}）$．
把${P}_{1}（\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，${P}_{2}（\frac{8}{5}，-\frac{6}{5}）$分别代入y=kx+2$\sqrt{2}$，
解得k1=-1，${k}_{2}=-\frac{3}{4}-\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
∴-$\frac{3}{4}$-$\frac{5\sqrt{2}}{4}$≤k＜-1．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质，以及点的运动轨迹的判断，要熟练掌握．

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Xxx居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量（度）电价（元/度）
阶梯一：1900.53
阶梯二：190-290（超出部分）0.58
本月实用金额：106.5（元）（大写）壹佰零陆元伍角
根据以上提供信息解答下列问题：
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