Question

7．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC的边上，已知：AC=8，BC=6．
（1）当四边形DEFG为正方形时，求EF的长；
（2）△BEF与△FCG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由；
（3）△BEF与△ADG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由面积求出CH，再证明△GFC∽△ABC，得出比例式，由GF=DG求出DG的长；
（2）由△ADG≌△GCF时，DG=CF，AD=CG，AG=GF，再由△FEB∽△ACB得出比例式求出DG的长；
（3）由题意推出不成立．

解答 解：（1）过C作CH⊥AB于H，交GF于M，如图所示：
设DG=x，
∵四边形DEFG为正方形，
∴GF=DG=x，
∵∠C=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
AB=$\sqrt{{6}^{2}{+8}^{2}}$=10，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CH=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$，
∵GF∥DE，∴△GFC∽△ABC，
∴$\frac{CM}{CH}$=$\frac{GF}{AB}$，即$\frac{\frac{24}{5}-x}{\frac{24}{5}}$=$\frac{x}{10}$，
解得 x=$\frac{120}{37}$，即DG=$\frac{120}{37}$；

（2）能；当△BEF≌△GCF时，EF=CG，BE=CF，BF=GF，设EF=CG=y，
则AG=8-y；
∵∠ADG=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADG∽△ACB中，
∴$\frac{DG}{AG}$=$\frac{BC}{AB}$，∴$\frac{y}{8-y}$=$\frac{3}{5}$，
解得 y=3，
即EF=3；

（3）不能，
∵DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，∠A=∠BFE，∠AGD=∠FBE
虽有四组条件，但不对应，要使△ADG与△BEF全等，
须使AD=EF，则AD=DG，即须使∠A=45°，
由AC=4，BC=3知，∠A不可能等于45°，
∴△ADG与△BEF不可能全等．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．