Question

10．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B=α，∠C=β（α＜β）．请用含α、β的代数式表示∠DAE．∠DAE=$\frac{1}{2}$（β-α）．并证明．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和等于180°列式求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAE=∠BAD-∠BAE代入数据计算即可得解；
（2）根据三角形的内角和等于180°列式表示出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAE=∠BAD-∠BAE整理即可得解．

解答 解：（1）∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∵AD是高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-40°=10°；

（2）$\frac{1}{2}$（β-α）．
∵∠B=α，∠C=β（α＜β），
∴∠BAC=180°-（α+β），
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$（α+β），
∵AD是高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-α，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-α-[90°-$\frac{1}{2}$（α+β）]=$\frac{1}{2}$（β-α）．
故答案为：$\frac{1}{2}$（β-α）．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握定理与概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．