Question

14．如图，点O在菱形ABCD的对角线AC上，以OC为半径的⊙O与边AD相切于点E．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠B=60°，求⊙O的半径的长．
（3）若∠BCD=108°，边AB与⊙O的公共点为F，BC与⊙O交于点G，CD与⊙O交于点H．求证：多边形EFGCH为正五边形．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OE，作OF⊥AB于F．只要证明OE=OF即可．
（2）如图1中，设⊙的半径为r，由∠B=60°，BC∥AD，推出∠B+∠BAD=180°，推出∠BAD=120°，推出∠OAE=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=60°，推出△ABC是等边三角形，推出AB=AB=6，在Rt△AOE中，sin60°=$\frac{OE}{OA}$，推出OA=$\frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r，可得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r+r=6，解方程即可．
（3）如图2中，连接EF、FG、EH、OE、OF、OG、OH．通过计算只要证明∠EOF=∠FOG=∠GOC=∠COH=∠HOE=72°即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OE，作OF⊥AB于F．

∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BAD，
∵⊙O与AD相切于点E，
∴OE⊥AD，∵OF⊥AB，
∴OE=OF，
∴直线AB与⊙O相切．

（2）解：如图1中，设⊙的半径为r，
∵∠B=60°，BC∥AD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴∠BAD=120°，
∴∠OAE=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AB=6，
在Rt△AOE中，sin60°=$\frac{OE}{OA}$，
∴OA=$\frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r+r=6，
∴r=12$\sqrt{3}$-18．

（3）证明：如图2中，连接EF、FG、EH、OE、OF、OG、OH．

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD=108°，
∴∠ACB=∠ACD=∠CAF=∠CAD=54°，
∵OG=OC=OH，
∴∠OGC=∠OCG=∠OCH=∠OHC=54°，
∴∠GOC=∠OCH=72°，
在四边形AFOE中，∠EOF=360°-∠AEO-∠AFO-∠EAF=72°，
∴∠AOF=∠AOE=36°，
∴∠FOG=∠EOH=180°-36°-72°=72°，
∴∠EOF=∠FOG=∠GOC=∠COH=∠HOE=72°，
∴四边形EFGCH是正五边形．

点评 本题考查圆综合题．角平分线的性质定理、切线的性质、菱形的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定和性质、正五边形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，掌握正五边形的证明方法，属于中考压轴题．