Question

17．如图，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，
（1）根据下列语句作图并保留作图痕迹；作Rt△ABC的外接圆⊙O，过点A作⊙O的切线PA与AC的垂直平分线交于点P；并写出 过点A作⊙O的切线PA的作图依据；
（2）连接PC，求证：PC是⊙O的切线；
（3）已知PA=AC=$\sqrt{3}$，求线段PA、PC与弧AC围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形外接圆的性质，可得斜边中点为点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，然后根据切线的判定定理作出过点A的⊙O的切线PA；
（2）连结OC，利用切线的性质与判定，得出∠OAC+∠CAP=∠OCA+∠PCA=90°，即可得出答案；
（3）根据（2）中所求，可以得出△PAC是等边三角形，进而得出r=1，∠AOP=60°，∠AOC=120°，即可求出所求图形的面积．

解答 （1）解：如图所示：
作图依据：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

（2）证明：连结OC．
∵点P、O在AC垂直平分线上，
∴PA=PC，AO=CO，
∴∠PAC=∠PCA，∠OAC=∠OCA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠OAC+∠CAP=∠OCA+∠PCA=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；

（3）解：∵PA，PC都是⊙O的切线，
∴PA=PC，
∵PA=AC=$\sqrt{3}$，
∴PA=AC=PC，
∴△PAC是等边三角形，
∴∠PAC=60°，
∴∠OAC=30°，
∴r=1，∠AOP=60°，∠AOC=120°，
∴S_{四边形AOCP}=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$×2=$\sqrt{3}$，
S_扇形AOC=$\frac{1}{3}$π，
∴线段PA、PC与弧AC围成的图形的面积为$\sqrt{3}$-$\frac{1}{3}$π．

点评 此题是圆的综合题，其中涉及到切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的求法和作复杂图形，根据已知得出正确图形是解题关键．