Question

10．如图，以AB为直径的⊙O经过点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，D是⊙O上于点，且$\widehat{\widehat{BC}}$=$\widehat{CD}$，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接AC．
（1）求∠E的度数；
（2）若⊙O的直径为5，sinP=$\frac{3}{5}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC．根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA．∠OAC=∠CAD．推出OC∥AE．根据平行线的性质得到∠E=∠OCP．根据切线的性质即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵BC=CD，
∴∠OAC=∠CAD．
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AE．
∴∠E=∠OCP．
∵PE是的切线，C为切点，
∴∠OCP=90°．
∴∠E=90°；

（2）在Rt△ABD中，OC=2.5，sin∠P=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{3}{5}$，
∴OP=$\frac{25}{6}$，
在Rt△APE中，AP=$\frac{25}{6}$+2.5=$\frac{20}{3}$，sin∠P=$\frac{AE}{AP}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=4．

点评 本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．