Question

20．如图，等边△ABC中，AB=8cm，动点P以2cm/s的速度从点A开始，沿边AC、CB的方向匀速运动至点B停止，PQ⊥AB于点Q，则运动过程中△APQ的面积y（cm²）关于点P的运动时间x（s）的函数图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 分为两种情况，P在A上和P在BC上，根据等边三角形的性质求出∠A=∠B=60°，解直角三角形求出AQ、PQ，根据面积公式求出面积y，根据函数的解析式得出即可．

解答 解：
分为两种情况：①当P在AC上时，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵PQ⊥AB，
∴∠PQA=90°，
∴∠APQ=30°，
∵AP=2x，
∴AQ=x，PQ=$\sqrt{3}$x，
∴y=$\frac{1}{2}×AQ×PQ$=$\frac{1}{2}•x•\sqrt{3}x$=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$x²，
此时函数的图象是顶点在原点上，开口向上的抛物线，∴选项A、D错误；
②当P在BC上时，

此时AC+CP=2x，
BP=8+8-2x=16-2x，
∠B=60°，
BQ=$\frac{1}{2}$BP=8-x，PQ=$\sqrt{3}$BQ=$\sqrt{3}$（8-x），
所以y=$\frac{1}{2}$AQ×PQ=$\frac{1}{2}$×[8-（8-x）]×$\sqrt{3}$（8-x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-4）²+8$\sqrt{3}$，
所以此时函数的图象的顶点坐标是（4，8$\sqrt{3}$），开口方向向下的抛物线，∴选项C正确，选项B错误；
故选C．

点评 本题考查了动点问题的函数图象问题、函数的图象和性质等知识点，能求出符合的函数的解析式是解此题的关键．