Question

20．如图，AB为圆O的直径，点M为圆上不与A，B重合的动点，点N平分弧AM，ND⊥AB于点D，过点M的切线交DN的延长线于点C．
（1）若MC∥AB，试判断AD与CN的数量关系，判断四边形OMCD的形状，并都给出理由；
（2）填空：当∠ANM=120°时，四边形ANMO是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据CM是⊙O的切线，得到OM⊥CM，根据已知条件得到∠C=∠M=∠CDO=90°，于是得到四边形OMCD是矩形，连接ON，根据全等三角形的性质得到∠A=∠OMN，根据余角的性质得到∠AND=∠CMN，根据全等三角形的判定和性质得到AD=CN；
（2）如图2，连接ON，根据全等三角形的性质得到∠ANO=∠MNO=$\frac{1}{2}∠$ANM=60°，推出△AON与△MON是等边三角形，于是得到AN=AO=MN=OM，即可得到结论．

解答 解：（1）AD=CN，四边形OMCD是矩形，
理由：∵CM是⊙O的切线，
∴OM⊥CM，
∵ND⊥AB，
∴CD⊥AB，
∴∠C=∠M=∠CDO=90°，
∴四边形OMCD是矩形，
连接ON，
∵点N平分弧AM，
∴$\widehat{AN}$=$\widehat{MN}$，
∴AN=MN，
在△AON与△NOM中，$\left\{\begin{array}{l}{AO=OM}\\{AN=MN}\\{ON=ON}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△NOM，
∴∠A=∠OMN，
∵∠A+∠AND=∠OMN+∠CMN=90°，
∴∠AND=∠CMN，
在△AND与△NCM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADN=∠CNM=90°}\\{∠AND=∠CMN}\\{AN=MN}\end{array}\right.$，
∴△AND≌△NCM，
∴AD=CN；

（2）当∠ANM=120°时，四边形ANMO是菱形；
如图2，连接ON，
∵点N平分弧AM，
∴$\widehat{AN}$=$\widehat{MN}$，
∴AN=MN，
在△AON与△NOM中，$\left\{\begin{array}{l}{AO=OM}\\{AN=MN}\\{ON=ON}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△NOM，
∴∠ANO=∠MNO=$\frac{1}{2}∠$ANM=60°，
∴△AON与△MON是等边三角形，
∴AN=AO=MN=OM，
∴四边形ANMO是菱形．
故答案为：120．

点评 本题考查了切线的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．