Question

如图1，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分（规定：线上各点不属于任何部分）．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，可得到∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°）
（1）如图2，当动点P落在第①部分时，如果∠APB=∠PAC+∠PBD，那么AC与BD平行吗？请说明理由；
（2）当动点P落在第②部分时，∠PAC、∠APB、∠PBD三个角满足什么等量关系时，AC与BD平行（不需说明理由）；
（3）如果直线AC∥BD，探究动点P在什么区域时，存在∠APB=∠PBD-∠PAC，请在图3中用阴影表示出动点P所在区域．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质

专题：

分析：（1）过P作PQ∥AC，结合平行线的性质及已知条件可得到∠BPQ=∠PBD，可判定PQ∥BD，结合平行的传递性可证明AC∥BD；
（2）类似（1）的方法，可得出结论；
（3）利用三角形外角的性质和平行线的性质可得出点P在的区域．

解答： 解：
（1）AC∥BD，
理由如下：过点P作PQ∥AC，如图2，

∴∠PAC=∠APQ，
∵∠APB=∠PAC+∠PBD，
又∵∠APB=∠APQ+∠BPQ，
∴∠BPQ=∠PBD，
∴PQ∥BD，
∴AC∥BD；
（2）∠APB=360°-（∠PAC+∠PBD）；
（3）如图：以AB所在直线为分界，

区域③的右侧和区域④的左侧（包括直线AB所属区域③④部分）．

点评：本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行?同位角相等，②两直线平行?内错角相等，③两直线平行?同旁内角互补，④a∥b，b∥c?a∥c．