Question

18．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10．

Answer 1

分析 首先作B关于AC的对称点D，连接AD，ED，则ED交于AC于点P，此时PB+PE最小，然后由在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，可得∠BAD=90°，又由BE=2，AE=3BE，可求得AE与AD的长，继而求得PE+PB=DE的长．

解答 解：作B关于AC的对称点D，连接AD，ED，则ED交于AC于点P，此时PB+PE最小，
则PB=PD，∠BAC=∠DAC，AD=AB，
∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠BAD=90°，
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=AE+BE=8，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=10，
∴PB+PE=PD+PE=DE=10．
故答案为：10．

点评 此题考查了最短路径问题以及等腰直角三角形性质．注意找到点P的位置是解此题的关键．