Question

10．已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC边上的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于F点，连接CD、BF．
（1）求证：△BDE≌△CFE；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形BDCF是矩形？

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出∠DBE=∠CFE，由中点的定义得出BE=CE，由ASA证明△BDE≌△CFE即可；
（2）先证明DE是△ABC的中位线，得出DE∥AC，证出四边形BDCF是平行四边形，得出AD=CF，证出CF=BD，得出四边形BDCF是平行四边形；再由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵CF∥AB，
∴∠DBE=∠CFE，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BDE和△CFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠CFE}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\\{∠BED=∠CEF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CFE（ASA）；
（2）解：当BC=AC时，四边形BDCF是矩形，理由如下：
∵D、E分别是AB，BC的中点
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，又AF∥BC，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∴AD=CF，
又BD=AD，
∴CF=BD，又CF∥BD，
∴四边形BDCF是平行四边形；
∵BC=AC，BD=AD，
∴CD⊥AB，即∠BDC=90°，
∴平行四边形BDCF是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．