Question

5．某居民楼紧挨一座山坡AB，经过地质人员勘测，当坡度不超过45°时，可以确保山体不滑坡，如图所示，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD=60°，．为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡BC与地面BD成45°角，AC=20米．求斜坡BC的长是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 根据题意可以运用锐角三角函数表示出BC的长，从而可以解答本题．

解答 解：作AM⊥BD于点M，作CN⊥BD于点N，如右图所示，
∵∠ABD=60°，∠CBD=45°，
∴BN=$\frac{CN}{tan45°}$，BM=$\frac{AM}{tan60°}$，BC=$\frac{CN}{sin45°}$，
∵CN=AM，AC=BN-BM，AC=20米，
∴BC=$\frac{\frac{20}{\frac{1}{tan45°}-\frac{1}{tan60°}}}{sin45°}$=$\frac{\frac{20}{\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{20}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}×\sqrt{2}$=$\frac{20\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}$=10$\sqrt{6}$（$\sqrt{3}+1$）=$30\sqrt{2}+10\sqrt{6}$≈66.7米，
即斜坡BC的长是66.7米．

点评 本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答问题．