Question

17．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{19}$，AD=8，点P、Q分别是AD边和BC边上的动点，点P从点A向点D运动，点Q从点C向点B运动，且保持CQ=2AP，设AP=x．
（1）用x的代数式表示BQ的长为8-2x；
（2）设PQ的垂直平分线EF与线段AD、BC分别相交于点E、F
①若直线EF经过点B，求x的值和线段PQ的长；
②直线EF是否能经过点D？在横线上直接写（能或不能）不能．

Answer 1

分析 （1）直接根据线段的和差表示出即可；
（2）在直角三角形，根据勾股定理求出x值，再构造直角三角形用勾股定理求出PQ，
（3）同（2）的方法先表示出DQ，然后判定出CF大于BC，说明点F落在CB延长线上，即不能经过点D．

解答 解：（1）设AP=x，CQ=2AP，
∴CQ=2x，
在矩形ABCD中，BC=AD=8，
∴BQ=8-2x，
故答案为8-2x；
（2）如图，

由（1）知，BQ=8-2x，AP=x，
∵EF是PQ的垂直平分线，
∴PF=QF，
∵直线EF过点B，即：点F和点B重合，
∴QF=PF=BQ=8-2x，
在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{19}$，∠BAD=90°，
在Rt△ABP中，AB²+AP²=BP²，即：19+x²=（8-2x）²，
∴x=22（∵x＞BC，∴舍）或x=$\frac{5}{3}$，
过点P过PG⊥BC，
∴BG=AP，
∴QG=BQ-BG=8-2x-x=8-3x=8-3×$\frac{5}{3}$=3，
在Rt△PGQ中，PG=AB=$\sqrt{19}$，
∴PQ=$\sqrt{P{G}^{2}+Q{G}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
（3）不能，如图2，

由（1）知，DP=AD-AP=8-x，CQ=2x，
∵EF是PQ的垂直平分线，
∴DP=DQ=8-x，
在△DOP和△FOQ中$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠QFO}\\{∠DOP=∠FOQ}\\{OP=OQ}\end{array}\right.$，
∴△DOP≌△FOQ，
∴PD=FQ．
∵PD∥FQ，
∴四边形DPFQ是平行四边形，
∵DP=DQ，
∴平行四边形PDQF是菱形，
∴FQ=DQ，
∴CQ+FQ=CQ+DQ=2x+8-x=8+x＞BC，
∴点F在CB延长线上，不在边BC上，
∴EF不能经过点D．
故答案为：不能．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是构造直角三角形．