Question

19．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b和8，O是原点，且（a+20）²+|b+10|=0．
（1）填空：a=-20，b=-10；
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t，用含t的代数式表示BC和AB的长；并探索：BC-AB的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由．
（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达C点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，
问：①当t为多少时，点Q追上点P；
②当t为多少时，P、Q两点相距6个单位长度？

Answer 1

分析 （1）根据偶次方以及绝对值的非负性即可求出a、b的值；
（2）设运动时间为t，由点A、B、C的运动规律找出点A、B、C表示的数，根据两点间的距离公式可找出BC、AB，二者做差后即可得出结论；
（3）由点P、Q的运动规律找出点P、Q表示的数．
①根据路程=速度×时间即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
②分0＜t≤10、10＜x≤15和15＜t≤28三种情况考虑，根据两点间的距离公式结合PQ=6即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）∵（a+20）²+|b+10|=0，
∴a+20=0，b+10=0，
∴a=-20，b=-10．
故答案为：-20；-10．
（2）BC-AB为定值，理由如下：
设运动时间为t，则点A表示的数为-t-20，点B表示的数为3t-10，点C表示的数为7t+8，
∴BC=7t+8-（3t-10）=4t+18，AB=3t-10-（-t-20）=4t+10，
∴BC-AB=4t+18-（4t+10）=8．
（3）经过t秒后，点P表示的数为t-20，点Q表示的数为$\left\{\begin{array}{l}{-20（0＜t≤10）}\\{3（t-10）-20（10＜t≤28）}\end{array}\right.$，
①根据题意得：t-20=3（t-10）-20，
解得：t=15，
∴当t=15秒时，点Q追上点P．
②（i）当0＜t≤10时，点Q还在点A处，
∴PQ=t-20-（-20）=t=6；
（ii）当10＜x≤15时，点P在点Q的右侧，
∴（t-20）-[3（t-10）-20]=6，
解得：t=12；
（iii）当15＜t≤28时，点P在点Q的左侧，
∴3（t-10）-20-（t-20）=6，
解得：t=18．
综上所述：当t为6秒、12秒和18秒时，P、Q两点相距6个单位长度．

点评 本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离公式、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离公式结合点之间的关系列出一元一次方程是解题的关键，本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，细心仔细是得分的关键．