Question

11．如图，直角坐标系中，O为原点，A（6，0），在等腰三角形ABO中，OB=BA=5，点B在第一象限，C（0，k）为y轴正半轴上一动点，作以∠CBD为顶角的等腰三角形CBD，且∠CBD=∠OBA，连接AD．
（1）①求点B的坐标；②若BD∥OC，求k的值．
（2）求证：OC=AD；
（3）设直线AD与y轴交于点M（0，m），当点C在y轴上运动时，点M的位置是否改变？若改变，求m与k的函数关系式；若不变，求m的值．

Answer 1

分析 （1）①利用等腰三角形的三线合一得出点B的横坐标为3，再利用勾股定理即可得出点B的纵坐标为4即可；
②先判断出△BOC是等腰三角形，即可得出点C在线段OB的垂直平分线上，先确定出直线OB解析式和OB中点坐标，即可得出CD的解析式即可；
（2）直接判断出△OBC≌△ABD即可得出结论；
（3）证出∠BEO=∠BAM，EB=OB=5，得出AM=ME，OE=$\sqrt{E{A}^{2}-O{A}^{2}}$=8，因此AM=EM=8-m，由勾股定理得出方程，解方程求出m的值，即可得出结论．

解答 （1）：①过B作BH⊥OA于点H，如图1所示：
∵OB=BA=5，OA=6，
∴OH=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴BH=4，
∴B（3，4）；
②若BD∥OC，则点D在BH上，
∵∠COB=∠OBH=$\frac{1}{2}$∠OBA，∠CBD=∠OBA，
∴∠COB=∠OBC，
∴OC=BC，
过BI⊥OC于点I，
OI=BH=4，IC=4-k
∴（4-k）²+3²=k²，
解得：k=$\frac{25}{8}$；
（2）证明：∵∠CBD=∠OBA，
∴∠CBO=∠DBA，
∴BC=BD，OB=AB，
在△OBC和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BD}&{\;}\\{∠CBO=∠DBA}&{\;}\\{OB=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC=AD．
（3）解：点M的位置不变；理由如下：
延长AB交y轴于点E，如图2所示：
由（2）知△OBC≌△ABD，
得：∠BOE=∠BAM，
∵OB=BA，∴∠BOA=∠BAO，
∵∠BOE+∠BOA=90°，∠BAO+∠BEO=90°，
∴∠BOE=∠BEO，
∴∠BEO=∠BAM，EB=OB=5
∴AM=ME，OE=$\sqrt{E{A}^{2}-O{A}^{2}}$=8，
∴AM=EM=8-m，
∵OM²+OA²=AM²，
∴（8-m）²=m²+6²，
解得：m=$\frac{7}{4}$，
∴点M的位置不变，m=$\frac{7}{4}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质等知识；解本题的关键是判断出OC=AD，是一道中等难度的题目．