Question

已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：AD+AB=AC；
（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论AB+AD=AC是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）根据AC平分∠MAN，可得CB=CD，∠CAB=60°，即可证明RT△ACD≌RT△ACB，可得AD=AB，再根据AC=2AB，即可解题；
（2）根据AC平分∠MAN，可得CB=CD，∠CAB=60°，易证∠FCD=∠BCE，即可证明△CDF≌△CBE，可得BE=DF，再根据（1）中证明AC=AE+AF，即可解题．

解答：证明：（1）∵AC平分∠MAN，
∴CB=CD，∠CAB=60°，
在RT△ACD和RT△ACB中，

AC=AC CD=CB

，
∴RT△ACD≌RT△ACB（HL），
∴AD=AB，
∵∠ACB=90°-∠CAB=30°，
∴AC=2AB，
∴AD+AB=AC；
（2）成立，过C作CE⊥AN于E，CF⊥AM于F，

∵AC平分∠MAN，
∴CB=CD，∠CAB=60°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠DCB=60°，
∵∠FCE=180°-∠BAD=60°，
∴∠FCE=∠BCD，
∵∠FCD+∠DCE=∠FCE，∠BCE+∠DCE=∠BCD，
∴∠FCD=∠BCE，
在△CDF和△CBE中，

∠FCD=∠BCE CF=CE ∠CFD=∠CEB=90°

，
∴△CDF≌△CBE，（ASA）
∴BE=DF，
∴AD+AB=AD+AE+BE=AD+DF+AE=AE+AF，
∵AC=AE+AF，
∴AD+AB=AC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CDF≌△CBE是解题的关键．