Question

14．如图，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若S_△ABC=12，BC=2OC，且AC，BC的长满足$\left\{\begin{array}{l}{BC-AC=1}\\{BC+AC=11}\end{array}\right.$．
（1）求线段AC，BC的长；
（2）若E为x轴上一点，且S_△AOE=$\frac{16}{3}$，求点E的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△ACP是以AC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程组求出线段AC，BC的长；
（2）根据三角形的面积公式求出OA，设点E的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分AC=AP、CA=CP，PA=CP三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{BC-AC=1}\\{BC+AC=11}\end{array}\right.$，
解方程组得，BC=6，AC=5；
（2）∵S_△ABC=12，BC=6，
∴AO=4，
设点E的坐标为（x，0），
由题意得，$\frac{1}{2}×$|x|×4=$\frac{16}{3}$，
则|x|=$\frac{8}{3}$，
解得，x=±$\frac{8}{3}$，
∴点E的坐标为（$\frac{8}{3}$，0）或（-$\frac{8}{3}$，0）；
（3）当AC=AP时，点P的坐标为（-3，0），
当CA=CP，点P在点C的左侧时，CP=CA=5，
∴点P的坐标为（-1，0），
点P在点C的右侧时，CP=CA=5，
∴点P的坐标为（8，0），
当PA=PC时，如图，设OP=x，则PC=x+3，
则x²+4²=（x+3）²，
解得，x=$\frac{7}{6}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{7}{6}$，0），
∴点P的坐标为（-3，0）或（-1，0）或（8，0）或（-$\frac{7}{6}$，0）时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的面积计算，掌握等腰三角形的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．