Question

3．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，若AD=3，BC=5．
（1）求证：AE=BE；
（2）求EF的长．

Answer 1

分析 （1）先根据折叠的性质得EA=EF，BE=EF，等量代换得到结论；
（2）根据折叠的性质得到DF=AD=3，CF=CB=5，则AB=2EF，DC=8，再作DH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ABHD为矩形，所以DH=AB=2EF，HC=BC-BH=BC-AD=2，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理计算出DH=2$\sqrt{15}$，所以EF=$\sqrt{15}$．

解答 解：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，
∴EA=EF，BE=EF，
∴AE=BE；
（2）∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，
∴DF=AD=3，CF=CB=5，
∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，
作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH=AB=2EF，HC=BC-BH=BC-AD=5-3=2，
在Rt△DHC中，DH=$\sqrt{D{C}^{2}-H{C}^{2}}$=2$\sqrt{15}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$DH=$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．