Question

19．如图，在?ABCD中，E为AB中点，EF与CF分别平分∠AEC与∠DCE，G为CE中点，过G作GH∥EF交CF于点O，交CD于点H．
（1）猜想四边形CGFH是什么特殊的四边形？并证明你的猜想；
（2）当AB=4，且FE=FC时，求AD长．

Answer 1

分析 （1）猜想：四边形CGFH是菱形．只要证明△FOG≌△COH，推出四边形FHCG是平行四边形即可解决问题；
（2）如图2中，延长EF交CD的延长线于M．只要证明四边形CGFH是正方形，以及△AFE≌△DFM即可解决问题；

解答 解：（1）猜想：四边形CGFH是菱形．
理由：如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AEC+∠ECD=180°，
∵∠FEC=$\frac{1}{2}$∠AEC，∠FCE=$\frac{1}{2}$∠DCE，
∴∠FEC+∠FCE=90°，
∴∠EFC=90°，
∵GH∥EF，
∴∠GOC=∠EFC=90°，
∵CG=EG，GO∥EF，
∴OF=OC，
在Rt△EFC中，∵EG=GC，
∴FG=GC，
∴∠GCF=∠GFC=∠FCD，
∵∠FOG=∠COH，
∴△FOG≌△COH，
∴OG=OH，
∵OF=OC，
∴四边形FGCH是平行四边形，
∵GF=GC，
∴四边形CGFH是菱形．

（2）如图2中，延长EF交CD的延长线于M．

∵EF=CF，∠EFC=90°，EG=CG，
∴FG⊥EC，
∴∠FGC=90°，
∴四边形CGFH是正方形，
∴∠FCG=∠FCH=45°，
∴EF=FM，
∵∠AFE=∠MFD，∠AEF=∠M，
∴△AFE≌△DFM，
∴AE=DM=2，AF=DF，
∴CM=CD+DM=6，
∵FH⊥CM，CF=FM，
∴CH=HM=FH=3，
在Rt△DFH中，DF=$\sqrt{F{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AD=2DF=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．