Question

4．要求2¹+2²+2³+…+2⁹⁹+2¹⁰⁰的值等于多少，直接求非常困难，因为是2¹⁰⁰一个非常大的数．因此，我们可以用方程的方法来做．
设x=2¹+2²+2³+…+2⁹⁹+2¹⁰⁰
则有2x=2（2¹+2²+2³+…+2⁹⁹+2¹⁰⁰）
即2x=2²+2³+…+2¹⁰⁰+2¹⁰¹
作简单的变形：2x-x=2²+2³+…+2¹⁰⁰+2¹⁰¹-（2¹+2²+2³+…+2⁹⁹+2¹⁰⁰）
则x=2¹⁰¹-2
请你在理解基础上，模仿上述方法求下式的值：
（1）1+6+6²+6³+…+6¹⁰⁰
（2）$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}}$+$\frac{1}{{2}^{100}}$．

Answer 1

分析 （1）仿照例子，设x=1+6+6²+6³+…+6¹⁰⁰，则可得出6x=6+6²+6³+…+6¹⁰¹，两者做差除以5即可得出结论x=$\frac{{6}^{101}-1}{5}$；
（2）仿照例子，设x=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}}$+$\frac{1}{{2}^{100}}$，则可得出$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$+$\frac{1}{{2}^{101}}$，两者做差除以$\frac{1}{2}$即可得出结论x=1-$\frac{1}{{2}^{100}}$．

解答 解：（1）设x=1+6+6²+6³+…+6¹⁰⁰，
则有6x=6（1+6+6²+6³+…+6¹⁰⁰），
即6x=6+6²+6³+…+6¹⁰¹，
作简单的变形：6x-x=6+6²+6³+…+6¹⁰¹-（1+6+6²+6³+…+6¹⁰⁰），
则x=$\frac{{6}^{101}-1}{5}$．
（2）设x=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}}$+$\frac{1}{{2}^{100}}$，
则有$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}}$+$\frac{1}{{2}^{100}}$），
即$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$+$\frac{1}{{2}^{101}}$，
作简单的变形：x-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}}$+$\frac{1}{{2}^{100}}$-（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$+$\frac{1}{{2}^{101}}$），
则x=1-$\frac{1}{{2}^{100}}$．

点评 本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是（1）仿照例子计算1+6+6²+6³+…+6¹⁰⁰；（2）仿照例子计算$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}}$+$\frac{1}{{2}^{100}}$．本题属于基础题，难度不大，本题其实是等比数列的求和公式，但初中未接触过该方面的知识，需要借助于错位相减法来求出结论．