Question

【题目】如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣2，0）和C，O为坐标原点．

（1）求抛物线解析式；

（2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）0＜m＜．

【解析】

（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解；

（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围.

（1）将A（0，﹣4）、B（﹣2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：

，

解得：，

故抛物线的解析式：y=x2﹣x﹣4．

（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=（x+m）2﹣（x+m）﹣4+，即：y=x2+（m﹣1）x+m2﹣m﹣；

它的顶点坐标P：（1﹣m，﹣1）；

由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；

设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把x=4，y=0代入，

∴4k+b=0，b=﹣4，

∴y=x﹣4．

同理直线AB：y=﹣2x﹣4；

当点P在直线AB上时，﹣2（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=；

当点P在直线AC上时，（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；

∴当点P在△ABC内时，﹣2＜m＜；

又∵m＞0，

∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜．