Question

4．已知，在△ABC中，AD是角平分线，AD=BD，AB=2AC，求证：△ACB是直角三角形．

Answer 1

分析 过D作DE⊥AC，得到∠AED=90°，由AD是角平分线，得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到AB=2AE，等量代换得到AC=AE，推出△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：过D作DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AD=BD，
∴AB=2AE，
∵AB=2AC，
∴AC=AE，
在△ACD与△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED，
∴∠ACD=∠AED=90°，
∴△ACB是直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．