Question

【题目】已知在△ABC中，AC＝BC，分别过A，B两点作互相平行的直线AM，BN，过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．

（1）如图1，若AM⊥AB，求证：CD＝CE；

（2）如图2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判断线段AD，DC与BE之间的关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD+DC＝BE，理由见解析

【解析】

（1）延长AC交BN于点F，证明△ADC≌△FEC（ASA），即可得出结论；
（2）在EB上截取EH=EC，连接CH，证明△DAC≌△HCB（AAS），得出AD=CH，DC=BH，即可得出结论．

（1）证明：如图1，延长AC交BN于点F，

∵AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA，

又∵AB⊥AM，

∴∠BAM＝90°，

又∵AM∥BN，

∴∠BAM+∠ABN＝180°，

∴∠ABN＝90°，

∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，

∴∠CBF＝∠AFB，

∴BC＝CF，

∴AC＝FC，

又∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，

在△ADC和△FEC中，，

∴△ADC≌△FEC（ASA），

∴DC＝EC；

（2）解：AD+DC＝BE；理由如下：

如图2，在EB上截取EH＝EC，连接CH，

∵AC＝BC，∠ABC＝60°，

∴△ABC为等边三角形，

∵∠DEB＝60°，

∴△CHE是等边三角形，

∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，

∴∠BHC＝120°，

∵AM∥BN，

∴∠ADC+∠BEC＝180°，

∴∠ADC＝120°，

∴∠DAC+∠DCA＝60°，

又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，

∴∠DCA+∠BCH＝60°，

∴∠DAC＝∠BCH，

在△DAC与△HCB中，，

∴△DAC≌△HCB（AAS），

∴AD＝CH，DC＝BH，

又∵CH＝CE＝HE，

∴BE＝BH+HE＝DC+AD，

即AD+DC＝BE．