Question

【题目】如图，在四边形中，是对角线，，，延长交的延长线于点.

（1）求证：；

（2）若，求的值；

（3）过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，连接.设，点是直线上的动点，当的值最小时，点与点是否可能重合？若可能，请说明理由并求此时的值（用含的式子表示）；若不可能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）可以重合，理由见解析，的最小值为.

【解析】

（1）运用HL证明即可得到结论；

（2）根据已知条件可证出AB=BE，从而可得∠BAE=45°,再由角平分线的定义可得∠BAC的度数；

（3）连接，连接，延长交的延长线于点.证明点与点关于直线成轴对称，也即点、点、点关于直线的对称点，这三点共线，也即的值最小时，点与点重合.再证明为等边三角形即可得到结论.

（1）证明：，

，，

.

.

（2），

又，

.

，

.

.

，

.

由（1）得，

.

.

（3）当的值最小时，点与点可以重合，理由如下：

，

，.

，

.

.

.

由（1）得，，

，

.即平分.

又，，

.

连接，连接，延长交的延长线于点.

设，则.

在中，.

在中，.

，

.

，

.

当时，

，，

.

.

即点与点关于直线成轴对称，也即点、点关于直线的对称点，这三点共线，也即的值最小时，点与点重合.

因为当时，，也即.

所以，当时，取最小值时的点与点重合.

此时的最小值即为.

，，，

.

.

.

，，三点共线.

当时，在中，

.

∴ ∠EPA＝60°.

为等边三角

.，

.

.

，

.

的最小值为.