Question

8．如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）．
（1）尺规作图：以AB为边在第一象限内作等边△ABC（保留作图痕迹，可不写做法）；
（2）求过A、B两点直线的函数解析式；
（3）求△ABC的面积；
（4）如果第一象限内有一点P（m，$\frac{1}{2}$），且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求m的值．

Answer 1

分析 （1）分别以点B，点A为圆心，以AB为半径画弧交于点C，△ABC就是所求的等边三角形，
（2）过A、B两点直线的函数解析式为y=kx+b，把点A（$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）代入求出k，b的值，即可得出过A、B两点直线的函数解析式，
（3）作CD⊥AB，由△ABC是等边三角形，可得CD=$\sqrt{3}$，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD求解即可，
（4）过点C作AB的平行线，过BO的中点作x轴的平行线，两线交于点P，由同底等高的三角形面积可得S_△ABP=S_△ABC，作CD⊥y轴，BC=AB=2，∠OBA=60°，∠CBA=60°，可得∠CBD=60°，利用特殊直角三角形得CD=$\sqrt{3}$，BD=1，从而得出C的坐标，设直线CP的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，把C（$\sqrt{3}$，2）代入得b的值，从而得出直线CP的解析式，把y=$\frac{1}{2}$代入得x的值即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）如图1，

（2）设过A、B两点直线的函数解析式为y=kx+b，
把点A（$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴过A、B两点直线的函数解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
（3）∵A（$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）．
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2，
如图2，作CD⊥AB，

∵△ABC是等边三角形，
∴CD=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
（3）如图3，过点C作AB的平行线，过BO的中点作x轴的平行线，两线交于点P，

由同底等高的三角形面积可得S_△ABP=S_△ABC，
作CD⊥y轴，
∵BC=AB=2，∠OBA=60°，∠CBA=60°，
∴∠CBD=60°，
∴CD=$\sqrt{3}$，BD=1，
∴C（$\sqrt{3}$，2），
设直线CP的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把C（$\sqrt{3}$，2）代入得，2=-1+b，解得b=3，
∴直线CP的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
把y=$\frac{1}{2}$代入得$\frac{1}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，解得x=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴P（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查了一次函数综合题，涉及用待定系数法求解析式，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确的作出辅助线求解．