Question

如图，已知过点A的直线AB：y=-2x+4和直线AC：y=

1

2

x-1，过原点O的抛物线的顶点为B（1，2）
（1）直线AC与y轴的交点C的坐标为

 

，∠CAB=

 

；
（2）求出抛物线的解析式；
（3）点P（m，n）是抛物线上OB间的一点
①作PQ平行于y轴交直线AC于点Q，当线段PQ被x轴平分时，求出点P的坐标；
②作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，四边形PMAN能否为正方形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由直线AC：y=

1

2

x-1可知当x=0时，y=-1，即可求得直线AC与y轴的交点C的坐标，由于直线AB和直线AC的斜率互为负倒数，所以AB⊥AC，即∠CAB=90°．
（2）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（3）过点P作x轴的平行线交AB于E，作y轴的平行线交AC于F，则∠EBF=90°，根据四边形PMAN为正方形，得出PM=PN，根据∠MPN=∠EPF=90°，得出∠MPE=∠NPF，进而求得△MPE≌△NPF，得出PE=PF，设P的坐标为（m，-2m²+4m），则E（m²-2m+2，-2m²+4m），F（m，

1

2

m-1），根据PE=PF得出关于m的方程，解方程即可求得m的值，进而求得P的坐标．

解答：解：（1）由直线AC：y=

1

2

x-1可知直线AC与y轴的交点C的坐标为 （0，-1），
由直线AB：y=-2x+4的斜率为-2，直线AC：y=

1

2

x-1的斜率为

1

2

，可知AB⊥AC，
所以∠CAB=90°．

（2）解

y=-2x+4 y= 1 2 x-1

得

x=2 y=0

，
∴A（2，0），
∵抛物线经过A、B、O三点，设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∴

0=4a+2b+c 2=a+b+c 0=c

，
解得

a=-2 b=4 c=0

．
∴抛物线的解析式为y=-2x²+4x．

（3）如图，过点P作x轴的平行线交AB于E，作y轴的平行线交AC于F，则∠EBF=90°，
∵PM⊥AB于M，PN⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形PMAN是矩形，
设P的坐标为（m，-2m²+4m），则E（m²-2m+2，-2m²+4m），F（m，

1

2

m-1），
∵四边形PMAN为正方形，
∴PM=PN，
∵∠MPN=∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
在△MPE和△NPF中，

∠PME=∠PNF=90° ∠MPE=∠NPF PM=PN

，
∴△MPE≌△NPF（AAS），
∴PE=PF，
∴m²-2m+2-m=-2m²+4m-

1

2

m+1，
解得，m=

1

6

，或m=2（舍去），
∴P（

1

6

，

11

18

）．

点评：本题考查了直线的交点，直线与坐标轴交点的特征，待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，正方形的性质等，（3）三角形全等是本题的关键．