Question

14．已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=1，另两边b，c的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值得到△=（k-2）²，然后根据非负数的性质得△≥0，则根据判别式的意义得到结论；
（2）把x=1代入方程得出关于k的方程，求得k的数值即可．已知a=6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验

解答 解：（1）证明：∵△=（k+2）²-4×2k=k²-4k+4=（k-2）²≥0，
∴无论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）①若a=1为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．
∴（k-2）²=0，解得：k=2．
此时原方程化为x²-4x+4=0
∴x₁=x₂=2，即b=c=2．
此时△ABC三边为1，2，2能构成三角形，
故周长为1+2+2=5；
②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=1
代入方程：1²-（k+2）+2k=0
解得k=1，
则原方程化为x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
即b=1，c=2，
此时△ABC三边为1，1，2不能构成三角形，则舍去；
∴△ABC的周长为5．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．