Question

4．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE=2，$\frac{25}{8}$，$\frac{36}{25}$．

Answer 1

分析 先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，再分类讨论：当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，所以CE=AE，根据等腰三角形得CE=$\frac{1}{2}$AC=2；当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠B，接着证明CD⊥AB，利用面积法可计算出CD=$\frac{12}{5}$，利用相似比可计算出CE=$\frac{36}{25}$；当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，证明CD为斜边上的中线，则CD=DA=DB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，然后利用相似比可计算出CE=$\frac{25}{8}$，综上所述，CE的长为2，$\frac{25}{8}$，$\frac{36}{25}$．

解答 解：∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，
∴△ADC为等腰三角形，
∴CE=AE，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2；
当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠B，
而∠BCD+∠DCE=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴CD⊥AB，
∴CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∵△ABC∽△DCE，
∴AB：CD=BC：CE，即5：$\frac{12}{5}$=3：CE，
∴CE=$\frac{36}{25}$；
当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，
∴DC=DA，
∵∠A+∠B=90°，∠DCE+∠BCD=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴DB=DC，
∴CD=DA=DB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∵△ABC∽△CED，
∴CE：AB=CD：AC，即CE：5=$\frac{5}{2}$：4，
∴CE=$\frac{25}{8}$，
综上所述，CE的长为2，$\frac{25}{8}$，$\frac{36}{25}$．
故答案为2，$\frac{25}{8}$，$\frac{36}{25}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了分类讨论的思想．