Question

9．已知关于x的方程$\frac{（a+1）（b+1）}{x+2}$+$\frac{（a-1）（b-1）}{x-2}$=$\frac{2ab}{x}$无解，实数a、b满足a≠b，ab≠0，求$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$的值．

Answer 1

分析 根据关于x的方程$\frac{（a+1）（b+1）}{x+2}$+$\frac{（a-1）（b-1）}{x-2}$=$\frac{2ab}{x}$无解，实数a、b满足a≠b，ab≠0，可以得到a与b的值，从而可以得到$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$的值．

解答 解：$\frac{（a+1）（b+1）}{x+2}$+$\frac{（a-1）（b-1）}{x-2}$=$\frac{2ab}{x}$
方程两边同乘以x（x+2）（x-2），得
x（x-2）（a+1）（b+1）+x（x+2）（a-1）（b-1）=2ab（x+2）（x-2）
化简，得
x²-2（a+b）x+4ab=0
（x-2a）（x-2b）=0
解得，x=2a或x=2b，
∵关于x的方程$\frac{（a+1）（b+1）}{x+2}$+$\frac{（a-1）（b-1）}{x-2}$=$\frac{2ab}{x}$无解，
∴x=-2或x=2或x=0，
∵实数a、b满足a≠b，ab≠0，
∴a≠b≠0，
∴2a=2，2b=-2或2a=-2，2b=2，
得a=1，b=-1或a=-1，b=1，
当a=1，b=-1时，$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{-1}{1}+\frac{1}{-1}=-1-1=-2$，
当a=-1，b=1时，$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{-1}+\frac{-1}{1}=-1-1=-2$，
由上可得，$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$的值是-2．

点评 本题考查分式方程的解，解题关键是明确题意，知道分式方程无解是解出来的方程无意义，会运用分类讨论的数学思想解答问题．