Question

在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（3，0），C在y轴正半轴上，三角形ABC的面积为6，点D为OC的中点．
（1）求C点和D点的坐标；
（2）动点P以每秒2个单位长度的速度从点A沿着射线AB匀速运动，设点P的运动时间为t（秒），试用含t的式子表示出线段PB的长；
（3）在（2）的条件下，是否有某一时刻三角形APD的面积等于三角形PBC的面积？若存在，请求出符合条件t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,三角形的面积

专题：

分析：（1）设C点坐标为（0，t）（t＞0），根据△ABC的面积为6得到

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2

×4×t=6，解出t可得到C点坐标，再根据中点坐标公式即可得到D点的坐标；
（2）分两种情况：①当点P在线段AB上，即0＜t＜2时，PB=AB-AP；②当点P在线段AB的延长线上，即t＞2时，PB=AP-AB；
（3）分两种情况：①点P在线段AB上，即0＜t＜2；②点P在线段AB的延长线上，即t＞2，都可以根据三角形APD的面积等于三角形PBC的面积列出方程，然后解方程即可求解．

解答：解：（1）设C点坐标为（0，t）（t＞0），
∵S_△ABC=

1

2

×4×t=6，解得t=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∵点D为OC的中点，
∴D点的坐标为（0，

3

2

）；

（2）分两种情况：
①当点P在线段AB上，即0＜t＜2时，PB=AB-AP=4-2t；
②当点P在线段AB的延长线上，即t＞2时，PB=AP-AB=2t-4；

（3）分两种情况：
①当点P在线段AB上，即0＜t＜2时，
∵三角形APD的面积等于三角形PBC的面积，
∴

1

2

•2t•

3

2

=

1

2

（4-2t）×3，
解得t=

4

3

；
②当点P在线段AB的延长线上，即t＞2时，
∵三角形APD的面积等于三角形PBC的面积，
∴

1

2

•2t•

3

2

=

1

2

（2t-4）×3，
解得t=4．
故存在t=

4

3

或t=4．

点评：本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S_△=

1

2

×底×高．也考查了坐标与图形性质，进行分类讨论是解题的关键．