Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．
（1）若BE=2$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{3}$，求AF的长；
（2）若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；
（3）请直接写出线段AD、BE、AE的数量关系．

Answer 1

分析 （1）在Rt△AEF中，利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图，延长AF至M点，使AF=MF，连接BM，首先证明△AEF≌△MFB，再证明△ABM≌△ACD即可．
（3）结论：AD²=BE²+（AD-AE）²．在Rt△BED中，利用勾股定理即可证明．

解答 解：（1）∵BE的中点是F，BE=2$\sqrt{2}$，
∴EF=$\sqrt{2}$，
∵AE=$\sqrt{3}$，BE⊥AD，
∴AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，

（2）如图，延长AF至M点，使AF=MF，连接BM，

在△AEF和△MBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FM}\\{∠AFE=∠BFM}\\{EF=BF}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△MFB（SAS），
∴∠FAE=∠FMB，
∴AE∥MB，
∴∠EAB+∠ABM=180°，
又∵AB=AC，DB=DA，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD，
∴∠ACD=180°-∠ACB，∠ABM=180°-∠BAD，
∴∠ACD=∠ABM．又∵∠BAC=∠DAF，
∴∠1=∠2．
在△ABM和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠1=∠2}\\{∠ACD=∠ABM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACD，
∴AM=AD，
∴2AF=AD

（3）结论：AD²=BE²+（AD-AE）²．
理由∵DB=DA，BE⊥AD，
∴BD²=BE²+DE²，
∴AD²=BE²+（AD-AE）²．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线倍长一倍，构造全等三角形，属于中考常考题型．