题目内容
12．在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC边上一点，BN⊥AD交AD的延长线于点N．
（1）如图1，若CM∥BN交AD于点M．
①直接写出图1中所有与∠MCD相等的角：∠CAD，∠CBN；（注：所找到的相等关系可以直接用于第②小题的证明过程
②过点C作CG⊥BN，交BN的延长线于点G，请先在图1中画出辅助线，再回答线段AM、CG、BN有怎样的数量关系，并给予证明．
（2）如图2，若CM∥AB交BN的延长线于点M．请证明：∠MDN+2∠BDN=180°．
分析 （1）①结论：∠CAD、CBN．利用同角的余角相等，平行线的性质即可证明．
②由△ACM≌△BCG，推出CM=CG，AM=BG，由∠CMN=∠MNG=∠G=90°，推出四边形MNGC是矩形，推出CM=GN=CG，由此即可证明．
（2）过点C作CE平分∠ACB，交AD于点E．由△ACE≌△BCM（ASA），推出CE=CM，又因为∠1=∠2，CD=CD，推出∠CDE=∠CDM，由∠BDN=∠CDE，∠MDN+∠CDE+∠CDM=180°，即可证明．
解答 解：（1）①∵CM∥BN，BN⊥AN，
∴∠CMD=∠N=90°，∠MCD=∠CBN，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠CAD=90°，∠MCD+∠ACM=90°，
∴∠MCD=∠CAD，
故答案为∠CAD、∠CBN．
②在图1中画出图形，如图所示，
结论：AM=CG+BN，
证明：在△ACM和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CBG}\\{∠AMC=∠G=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCG，
∴CM=CG，AM=BG，
∵∠CMN=∠MNG=∠G=90°，
∴四边形MNGC是矩形，
∴CM=GN=CG，
∴AM=BG=BN+GN=BN+CG．
（2）过点C作CE平分∠ACB，交AD于点E．
∵在△ACD和△BDN中，∠ACB=90°，AN⊥ND
∴∠4+∠ADC=90°=∠5+∠BDN
又∵∠ADC=∠BDN
∴∠4=∠5，
∵∠ACB=90°，AC=BC，CE平分∠ACB，
∴∠6=45°，∠2=∠3=45°
又∵CM∥AB，
∴∠1=∠6=45°=∠2=∠3，
在△ACE和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠5}\\{AC=BC}\\{∠3=∠1}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCM（ASA）
∴CE=CM
又∵∠1=∠2，CD=CD
∴∠CDE=∠CDM
又∵∠BDN=∠CDE，∠MDN+∠CDE+∠CDM=180°
∴∠MDN+2∠BDN=180°．
点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线、构造全等三角形，属于中考常考题型．
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（ ）
如图，D是BC的中点，E是AC的中点． S△ADE=2，则S△ABC=8．