Question

9．已知α、β是方程x²-11x+22=0的二根，求作以α+β、$\frac{β}{α}$+$\frac{α}{β}$为根的一元二次方程．

Answer 1

分析 先利用根与系数的关系得到α+β=11，αβ=22，再计算出$\frac{β}{α}$+$\frac{α}{β}$=$\frac{7}{11}$，接着计算出α+β+$\frac{β}{α}$+$\frac{α}{β}$和（α+β）（$\frac{β}{α}$+$\frac{α}{β}$）的值，然后利用根与系数的关系写出满足条件的方程．

解答 解：根据题意得α+β=11，αβ=22，
所以$\frac{β}{α}$+$\frac{α}{β}$=$\frac{{α}^{2}+{β}^{2}}{αβ}$=$\frac{（α+β）^{2}-2αβ}{αβ}$=$\frac{1{1}^{2}-2×22}{22}$=$\frac{7}{11}$，
所以α+β+$\frac{β}{α}$+$\frac{α}{β}$=11+$\frac{7}{11}$=$\frac{128}{11}$，（α+β）（$\frac{β}{α}$+$\frac{α}{β}$）=11×$\frac{7}{11}$=7，
所以以α+β、$\frac{β}{α}$+$\frac{α}{β}$为根的一元二次方程为x²-$\frac{128}{11}$x+7=0．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．