Question

8．已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 在CB上取点G使得CG=CD，可证△BOE≌△BOG，得BE═BG，可证△CDO≌△CGO，得CD=CG，可以求得BE+CD=BC．

解答 解：在BC上取点G使得CG=CD，
∵∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-60°）=120°，
∴∠BOE=∠COD=60°，
∵在△COD和△COG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CO}\\{∠DCO=∠GCO}\\{CD=CG}\end{array}\right.$，
∴△CODF≌△COG（SAS），
∴∠COG=∠COD=60°，
∴∠BOG=120°-60°=60°=∠BOE，
∵在△BOE和△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOG=∠BOE}\\{BO=BO}\\{∠EBO=∠GBO}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△BOG（ASA），
∴BE=BG，
∴BE+CD=BG+CG=BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD=CG和BE=BG是解题的关键．