Question

7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C-B相交于点M．当M、Q两点相遇时停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．
（1）点C的坐标为（3，4），直线l的解析式为y=$\frac{4}{3}$x；
（2）若抛物线C′经过O、A、C三点，则抛物线C′的开口方向：向下，对称轴方程：x=4；
（3）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据点A和点B的坐标，写出点C的坐标，然后求出直线l的函数解析式；
（2）根据点A、O、C的位置可得抛物线C′的开口方向向下，对称轴为x=4；
（3）根据题意，得OP=t，AQ=2t．分三种情况讨论：①当0＜t≤$\frac{5}{2}$时；②当$\frac{5}{2}$＜t≤3时；③当3＜t＜$\frac{16}{3}$时，分别表示出MP、PE的长度，然后根据S=$\frac{1}{2}$•MP•PE，求出S与t的函数关系式，然后根据配方法求出S的最大值．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），四边形OABC是平行四边形，
∴点C的坐标是（3，4），
∴直线l的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x；

（2）∵抛物线C′经过O、A、C三点，
∴抛物线C′的开口向下，
对称轴为：x=4；

（3）根据题意，得OP=t，AQ=2t．分三种情况讨论：
①当0＜t≤$\frac{5}{2}$时，如图1，M点的坐标是（t，$\frac{4}{3}$t）．
过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥x轴于E，可得△AEQ∽△ODC．
∴$\frac{AQ}{OC}$=$\frac{AE}{OD}$=$\frac{QE}{CD}$，
∴$\frac{2t}{5}$=$\frac{AE}{3}$=$\frac{QE}{4}$，
∴AE=$\frac{6t}{5}$，EQ=$\frac{8}{5}$t．
∴Q点的坐标是（8+$\frac{6t}{5}$，$\frac{8}{5}$t），
∴PE=8+$\frac{6t}{5}$-t=8+$\frac{1}{5}$t．
∴S=$\frac{1}{2}$•MP•PE=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$t•（8+$\frac{1}{5}$t）=$\frac{2}{15}$t²+$\frac{16}{3}$t=$\frac{2}{15}$（t+20）²-$\frac{160}{3}$，
∵当0＜t≤$\frac{5}{2}$时，S随t的增大而增大，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，S有最大值，最大值为$\frac{85}{6}$．
②当$\frac{5}{2}$＜t≤3时，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，
∵BQ=2t-5，
∴OF=11-（2t-5）=16-2t，
∴Q点的坐标是（16-2t，4），
∴PF=16-2t-t=16-3t．
∴S=$\frac{1}{2}$•MP•PE=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$t•（16-3t）=-2t²+$\frac{32}{3}$t=-2（t-$\frac{8}{3}$）²+$\frac{128}{9}$，
∴当t=$\frac{8}{3}$时，S有最大值，最大值为$\frac{128}{9}$，
③当3＜t＜$\frac{16}{3}$时，如图3，
∴MQ=16-2t-t=16-3t，MP=4．
∴S=$\frac{1}{2}$•MP•PE=$\frac{1}{2}$•4•（16-3t）=-6t+32．
∵k=-6＜0．
∴S随t的增大而减小．
又∵当t=3时，S=14．当t=$\frac{16}{3}$时，S=0．
∴0＜S＜14．
综上所述，S与t函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{15}{t}^{2}+\frac{16}{3}t（0＜t≤\frac{5}{2}）}\\{-2{t}^{2}+\frac{32}{3}t（\frac{5}{2}＜t≤3）}\\{-6t+32（3＜t＜\frac{16}{3}）}\end{array}\right.$，
当t=$\frac{8}{3}$时，S有最大值，最大值为$\frac{128}{9}$．

点评 本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线最大值的求法和动点问题等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，此题难度较大．