Question

13．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若AF=1，OA=2$\sqrt{2}$，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA，然后根据切线的性质得出∠FAO=90°，然后即可证明结论．
（2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，继而也可得出PC得长．

解答 解：（1）证明：连接 OC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵OA=OC（圆的半径相等），
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO，
∵FA 与⊙O 相切，且 AB 是⊙O 的直径，
∴FA⊥AB，
∴∠FCO=∠FAO=90°，
∵CO 是半径，
∴PC 是⊙O 的切线；

（2）解：∵PC 是⊙O 的切线，
∴∠PCO=90°，又∵∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，
∴△PAF∽△PCO，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{AF}{CO}$，
∵CO=OA=2$\sqrt{2}$，AF=1，
∴PC=2$\sqrt{2}$PA，
设 PA=x，则 PC=2$\sqrt{2}$x．
在 Rt△PCO 中，由勾股定理得：（2$\sqrt{2}$x）²+（2$\sqrt{2}$）²=（x+2$\sqrt{2}$）²，
解得x=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，
∴PC=2$\sqrt{2}$×$\frac{4\sqrt{2}}{7}$=$\frac{16}{7}$．

点评 此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，涉及知识点较多，解答本题要求熟练掌握切线的判定定理及性质，有一定难度．