Question

3．已知关于x的方程 x²-5x-m²-2m-7=0．
（1）若此方程的一个根为-1，求m的值；
（2）求证：无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析 （1）把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，然后解关于m的一元二次方程即可；
（2）进行判别式的值，利用完全平方公式变形得到△=4（m+1）²+49，然后利用非负数的性质可判断△＞0，从而根据判别式的意义可判断方程根的情况．

解答 （1）解：把x=-1代入x²-5x-m²-2m-7=0得1+5-m²-2m-7=0，解得m₁=m₂=-1，
即m的值为1；
（2）证明：△=（-5）²-4（-m²-2m-7）
=4（m+1）²+49，
∵4（m+1）²≥0
∴△＞0，
∴方程都有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．