Question

在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，并于CD相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）求证：BD=CD；
（3）求证：△BDF≌△CDA；
（4）求证：CE=

1

2

BF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由BE为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，再由BE垂直于AC，得到一对直角相等，再由BE为公共边，利用ASA即可得证；
（2）由CD垂直于BD，且∠ABC=45°，利用三角形内角和定理求出∠DCB=45°，利用等角对等边即可得证；
（3）根据同角的余角相等得到∠DBF=∠DCA，再由一对直角相等，且BD=CD，利用ASA即可得证；
（4）由（1）的结论得到AB=CB，根据BE垂直于AC，利用三线合一得到E为AC中点，即CE=

1

2

AC，根据（3）中的结论得到AC=BF，等量代换即可得证．

解答：证明：（1）∵BE为∠ABC平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在△ABE和△CBE中，

∠ABE=∠CBE BE=BE ∠AEB=∠CEB=90°

，
∴△ABE≌△CBE（ASA）；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=45°，
∴∠DCB=∠DBC，
∴BD=CD；
（3）∵∠A为Rt△ABE和Rt△CDA的同角，
∴∠ABE=∠ACD=90°-∠A，即∠FBD=∠ACD，
在△BDF和△CDA中，

∠FBD=∠ACD BD=CD ∠BDF=∠CDA=90°

，
∴△BDF≌△CDA（ASA）；
（4）由证（1）结论知BC=BA，且BE⊥AC于点E，
∴CE=AE=

1

2

CA，
由（3）结论知BF=CA，
∴CE=

1

2

BF．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．