Question

17．已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，BC=3，△ABC的高BE、AF交于点H，则AH的长为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接BO，并延长交⊙O于D，连接AD，CD，CH，根据圆周角定理可得△BCD为含30°的直角三角形，则CD=$\frac{1}{2}$BD，利用H是垂心及直径所对的圆周角是直角可得四边形AHCD是平行四边形，则AH=CD=$\frac{1}{2}$BD，再利用三角函数求出BD长即可．

解答 解：连接BO，并延长交⊙O于D，连接AD，CD，CH，
∵BD是⊙O直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
又∠BAC=60°，
∴∠CAD=30°，∠DBC=∠CAD=30°，
在Rt△BCD中，CD=$\frac{1}{2}$BD，
∵AH⊥BC，CH⊥AB，
又DC⊥BC，DA⊥AB，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∵AH=CD，
∴AH=$\frac{1}{2}$BD．
∵在Rt△BCD中，BC=3，∠DBC=30°，
∴BD=$\frac{BC}{cos30°}$=2$\sqrt{3}$，
∴AH=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了与圆有关的证明，得到四边形AHCD的形状是解决本题的突破点，用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；两组对边分别平行的四边形是平行四边形．